Digg StumbleUpon LinkedIn YouTube Flickr Facebook Twitter RSS Reset

Математика спортлото. Часть 2

Математическое обоснование лотереи «Гослото 5 из 36»

 

Настала пора вернуться к обещанным математическим формулам.

 

            Поскольку из всех рассмотренных лотерей наименьшее количество вариантов у лотереи «Гослото» 5 из 36 все подробные расчеты проведем на ней, а на остальных просто повторим, подставив соответствующие значения.

 

            Мы знаем, что имеется всего 376,992 комбинации. Разумеется, не все они равноценны – после тиража одни будут счастливы, что угадали все 5 номеров, другие ограничатся угадывание 3 или 4, третьи будут довольны, что хотя бы вернули свои деньги, угадав 2 номера. А подавляющее большинство будет надеяться, что в следующий раз им повезет больше (Своей последней фразой авторы ни в коем случае не хотят обидеть основную массу играющих, ведь как говорилось в одном известном советском фильме «За 30 копеек у вас появляется надежда»).

 

            Предположим, что в тираже участвовало 376992 человека, каждый их которых использовал только одну комбинацию, и ни одна из них не повторилась. Допустим выигрышная комбинация. По аналогии с вышеупомянутым фильмом имеет вид – 1, 2, 3, 4, 5

Подсчитаем количество выигрышных комбинаций. Проще всего ответить на вопрос, сколько человек угадает все 5 номеров – это удастся сделать лишь одному человеку. Значительно большему числу игроков удастся угадать 4 номера. Здесь уже можно легко сделать распространенную ошибку. Ведь порядок выпадения шаров из лототрона не имеет значения, поэтому комбинации 1, 2, 3, 4, 30 и 30, 2, 3, 4, 1, а также, например 3, 2, 30, 4, 1 равны

 

Чтобы не сделать ошибку в любом из 5 номеров, заменим его одним из неудачных 31 номеров.

Чтобы подсчитать число возникающих при этом комбинаций, запишем их в виде пар, на первом месте которых стоит один из 5 заменяемых номеров, а на втором – тот номер, которым он заменяется.

 

Например, пара (1,6) обозначает, что участник вместо выигрышной комбинации 1, 2, 3, 4. 5, зачеркнул 6,2,3,4,5, угадав лишь 4 номера.

(1,6) (1,7)……(1,36)

(2,6) (2,7)……(2,36)

(3,6) (3,7)……(3,36)

(4,6) (4,7)……(4,36)

(5,6) (5,7)……(5,36)

 

Из таблицы видно, что число возможностей ошибиться только 1 раз составляет 5*31=155 раз. Значит, 155 участников угадало 4 номера.

 

Аналогичные вычисления можно провести для подсчета угаданных «двоек» и «троек», но это будем очень трудоемко. К нашему счастью математики придумали формулы, которые сильно упрощают задачу, хотя справедливости ради, надо отметить, что многие комбинаторные задачи разрешимы только методом полного перебора.

 

И так настало понятие ввести понятие число сочетаний.

 

В математике оно обозначается   и  звучит как, число сочетаний из n различных предметов по m

 

В нашем рассчитанном случае n=5 (количество выпавших номеров), а m=4 (сколько вариантов «четверок» содержит выигрышная комбинация). В дальнейшем m будет принимать значение 3,2,1,0

 

Формула для вычислений имеет вид.

 

Где восклицательный знак означает факториал.

 

Факториал имеет формулу где n! = 1 * 2 * 3 … n.

 

Например:

5!=1*2*3*4*5=120

4!=4*3*2*1=24

3!=3*2*1=6

2!=1*2=2

1!=1

 

И внимание 0!=1.

Строго говоря, 0! не имеет смысла. Но именно в этом случае многие важные формулы сохраняют верность и не имеют исключений

 

Это можно доказать, но для простоты будем считать это аксиомой.

 

Вооружившись формулой подсчитаем сколько выпавшая комбинация содержит «пятерок», четверок», «троек», «двоек», «единиц» и «нулей»

 

 

 

 

Все правильно «пятерка» — 1

 

 «Четверок» -5

 

 

«троек» 10

 

 

«двоек» тоже 10 (позже мы разъясним, почему количество «двоек» равно количеству «троек»)

 

 

«единиц» — 5

 

 

«Нулей» — 1

 

 

У пытливого читателя наверняка уже крутится вопрос – почему, ранее, когда мы считали количество человек угадавших «четверки» получили 155, а сейчас только 5. Вот ответ на него. Когда лототрон закончил движение, мы получаем 2 группы шаров. Снаружи 5 призовых шаров, 31 шар которые проиграли в данном тираже и остались внутри лототрона. Когда мы рассчитываем количество выигрышных комбинаций, как ни парадоксально мы должны учесть часть шаров взять из призовых, а часть из проигравших. Поясню это на примере расчета выигрышных «четверок». У нас есть 5 мест на поле билета, которые составляют нашу игровую комбинацию. В 4 из них мы помещаем призовые шары, а в пятое последнее мы должны поместить шар из числа проигравших. В нашем случае проигравших шаров 31. То есть один из них. Поэтому полная формула выглядит как произведение:

 

 

Кстати для пятерок полная формула выглядит так

 

 

Теперь нам легко составить остальные формулы.

 

Для «троек». Три шара берем из призовых, а 2 из лототрона

 

 

Для «двоек». Два шара берем из призовых, а 3 из лототрона

 

 

 

Для «единиц». Один шар берем из призовых, а 4 из лототрона

 

 

 

Для «нолей». Все 5 шаров берем из лототрона.

 

 

Итоговая проверка – складываем все значения:

 

1+155+4650+44950+157325+169911=376992/ Все верно!!!

 

 

Хотелось бы отметить, что для комбинаторики верны следующие типы равенств:

 

или аналогичные.

 

Даже обладателю компьютера вычисление факториала 31 может составить определенные трудности, поэтому авторы предлагаю следующую упрощенную методику, с которой справится любой калькулятор.

Допустим, нам надо вычислить — 

Вспомним, мы имеем 2 множества шаров

1)    это 5 призовых шаров

2)    это 31 проигравший шар, лежащие в лототроне

 

в соответствии с этой формулой из первого множества мы должны взять 2 шара, а из второго 3.

 

Мысленно мы должны говорить примерно так. Берем первый шар из первого множества. Всего шаров 5. Значит берем один из 5. Мы его можем поставить на любое из двух мест. Значит 5 делим на 2.Берем следующий шар из оставшихся 4, ему осталось всего одно место, поэтому 4 делим на 1.

 

Получилась запись 5/2*4/1=5*4/(2*1)=(5*4)/(2!)

Сравним с записью

 

5!/(2!*(5-2)!)=5*4*3*2*1/((2*1)*(5-2)!)=5*4*3*2*1/((2*1)*(3)!)= 5*4*3*2*1/((2*1)*(3*2*1)

 

После не хитрых сокращений остается 5*4/(2*1)=5*4/2! Сравнение показывает полную тождественность полученных результатов

 

Общий принцип такой считаем количество множителей в числителе и потом в знаменатель пишем факториал этого числа.

Вычислим вторую часть выражения  

 

Из формулы видно, что в числители у нас будет 3 числа, соответственно в знаменателе будет факториал 3.

 

31*30*29/3!=31*30*29/6=4495

Итого

Все верно!!!

 

 

Поведем итог наших вычислений в таблице. Еще раз напомним условия.

 

Предположим, что в тираже участвовало 376992 человека, каждый их которых использовал только одну комбинацию, и ни одна из них не повторилась.

 

 

 

Категория выигрыша Количество выигрышей % от общего числа играющих
Выигрыш первого класса за 5 угаданных номеров

1

0,000265257
Выигрыш второго класса за 4 угаданных номера

155

0,04111493
Выигрыш третьего класса за 3 угаданных номера

4650

1,233447924
Выигрыш четвертого класса за 2 угаданных номера

44950

11,923329938

 

Всего в лотерее «5 из 36», таким образом, содержится 49.756 выигрышей, т. е. 1 выигрыш приходится на 7,6 комбинаций.

 

Если быть точнее, то реально выигрышных комбинаций 4860, а в 44950 комбинациях вам просто возвращается ваша ставка.

 

Авторы статьи считают правильнее использовать следующую терминологию

 

Всего в лотерее «5 из 36», таким образом, содержится:

4860 реально выигрышных комбинаций или 1,29% от всех возможных, т. е. 1 выигрыш приходится на 78 комбинаций.

44950 или 11,92% комбинаций, где возвращается величина ставки. Одна такая комбинация приходится на 8,39 всех остальных.

327236 или 86,8% комбинаций, где, увы, Вы проигрываете. Или другими словами, проигрышными  будут каждые 9 (почти) из 10 сыгранных.

 

В 3 части статьи мы проведем математическое обоснование лотерей 6 из 45 и 7 и 49.


Была ли информация полезной ?
УжасноПлохоУдовлетворительноХорошоОтлично (11 votes, average: 4,64 out of 5)
Загрузка...

Пока комментариев нет.

Оставить комментарий